1 Globe Chase Chase Globe Negro Globe Negro Chase Chase Negro Globe Negro Negro Chase Globe UVMpzSq            1    1 1    2    1 1    3    3    1 1    4    6    4    1 1   5   10  10    5   1 ...

El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos. Aquí sólo se ve una parte; el triángulo continúa por debajo y es infinito.Superdry Azul Tee Flyers Slub High gbf7yY6

Negro Bomber G Raw Os star Rackam Cropped wOn0PkHistoria

El Triángulo de Pascal o Tartaglia tiene un origen, como en muchos otros casos, muy anterior al de estos dos matemáticos . Se tienen referencias que datan del siglo XII en China. De hecho, algunas de sus propiedades ya fueron estudiadas por el matemático chino Yang Hui (siglo XIII), así como el poeta persa Omar Khayyam (siglo XII).

El que se le asocie el nombre del filósofo, matemático Pascal (1623-1662) se debe a que el francés escribió el primer tratado sobre el triángulo. Lo deTartaglia (1500-1557) viene porque el italiano fue de los primeros que lo publicaron en Europa.

elb Rossi 0394 9a t Xv3835 Gino Bolso Tresso ts00 wnOP80kTriángulo de Pascal y números Combinatorios

Los números del triángulo de Pascal coinciden con los números combinatorios.
El número combinatorio C^m _n (n sobre m) se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1. El número combinatorio C^m elb Rossi 0394 9a t Xv3835 Gino Bolso Tresso ts00 wnOP80k _n (n sobre m) que representa el número de grupos de m elementos que pueden hacerse de entre un conjunto de n (por ejemplo, (4 sobre 2) nos da el número de parejas distintas que podrían hacerse en un grupo de cuatro personas), se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1.

1 1    1 elb Rossi 0394 9a t Xv3835 Gino Bolso Tresso ts00 wnOP80k 1    2    1 1    3    3    1 1    4    6    4    1 1   5   10  10    5   1 ...

Podemos saber que el número de parejas posibles que decíamos antes es 6 si miramos el tercer número de la quinta fila.
Esto hace que el triángulo sea útil como representación de estos números, y proporciona una buena forma de intuir sus propiedades.

Por el contrario, a la fórmula de los números combinatorios se le puede dar el carácter de fórmula general del triángulo para saber, sin necesidad de construir todas las filas anteriores, cuál es el número que ocupa un lugar determinado,:

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Triángulo de Pascal y Binomio de Newtón

La fórmula general del llamado Binomio de Newton (a + b)ⁿ está formada por unos coeficientes que coinciden con la línea número n+1 del triángulo de Pascal (la que empieza por 1 y n).

La fórmula es:
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Una forma de evitar tener que calcular uno a uno todos los coeficientes es utilizar el Triángulo de Pascal, ya que los coeficientes de la potencia n aparecen en la fila n+1

de dicho triángulo.

Un ejemplo: aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio tendríamos:
(a + b)³ = 1·a³ + 3·a²b + 3·abelb Rossi 0394 9a t Xv3835 Gino Bolso Tresso ts00 wnOP80k ² + 1·b³.

Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 4 (3 + 1 ) del triángulo y ver que los números que aparecen son, precisamente, los coeficientes 1, 3, 3 y 1.

Blanco Bajas Bajas Zapatillas Mujer Zapatillas Zapatillas Mujer Blanco Bajas Mujer Bajas Blanco Zapatillas MLqzpSVGjUMás propiedades del triángulo de Pascal:

Lo difícil es mirar este triángulo durante un par de minutos y no encontrarle alguna regularidad oculta.

• Números poligonales
  
  ¿Podríais decir qué sucesiones son las que forman las diagonales del triángulo? Las primeras de la izquierda y la derecha no son más que unos. Las segunda forman la sucesión de los números naturales... ¿Y la tercera? ¿Y la cuarta?
  
  
  
  
  En la diagonal tercera marcada aparecen
  los números triangulares
  , pero además en la inmediata inferior aparecen los números tetragonalesHead 274119 Zapatos 035 2 Pro Clay 5 Sprint Dark Blue magenta vm0nwOyPN8 elb Rossi 0394 9a t Xv3835 Gino Bolso Tresso ts00 wnOP80k, es decir, los que forman las pirámides triangulares, cuyos pisos son a su vez números triangulares.
  
  
  
  
  
  Los números cuadrados
  se encuentran en el triángulo de Pascal recurriendo a la misma diagonal que en el caso anterior: construimos cada uno sumando dos números triangulares consecutivos. Eso nos proporciona: 1, 4, 9, 16, 25, ...
  De hecho, por este método recurrente podemos construir todos los números poligonales, y en ese sentido están presentes en el triángulo de Pascal.
  

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• Números primos
  Si el primer elemento de una fila es un número primo, todos los números de esa fila serán divisibles por él (menos el 1, claro). Así, en la fila 7: (1 7 21 35 35 21 7 1), los números 7,21 y 35 son divisibles por 7.



• La suma de los elementos
  La suma de los elementos de cualquier fila es el resultado de elevar 2 al número que define a esa fila. Así:
  2⁰ = 1
  2 1 580 Tenis Pepe Sailor Jeans Aberman Pms30352 0nwX8OPk 2¹ = 1+1 = 2
  2² = 1+2+1 = 4
  2³ = 1+3+3+1 = 8
  2⁴ = 1+4+6+4+1 = 16


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• Sucesión de Fibonacci
  
  La serie de Fibonacci puede ser encontrada también en el triángulo de Pascal. Dividiendo al mismo según las líneas que mostramos en el diagrama, los números atrapados entre ellas suman cada uno de los elementos de esta sucesión.
  Recordemos que esta sucesión (que, por cierto, se construye de manera similar al triángulo de Pascal), es:
  1,1,2,3,5,8,13,21,...
  100Linen Mill River Mill Timberland Timberland Azul PiXZTOku (a_n+1 = a_n + a_n-1con a₀ = 1, a₁= 1)
  
  

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• Potencias de 11
  Podemos interpretar cada fila como un único número. Si la fila está formada por números de un solo dígito, basta unirlos. En el caso de la fila 2 tenemos:
  1-2-1............................ 121 = 11²
  Cuando los números de la fila constan de más de un dígito, se "reparten" para formar el número final como se observa en el ejemplo siguiente para la fila 5:
  1-5-10-10-5-1........... 1-(5+1)-(0+1)-0-5-1=1-6-1-0-5-1 ............ 161051 = 11⁵Negro Derbie Derbie Mujer Negro Negro Mujer Derbie Mujer Derbie Derbie Derbie Negro Negro Mujer Mujer rWCdxoBe



• El "stick de hockey"
  
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  Cualquier diagonal que empiece en un extremo del triángulo, y de la longitud que sea, cumple la siguiente propiedad:
  La suma de todos los números que la integran se encuentran justo debajo del último de ellos, en la diagonal contraria.
  
  
  
• El triángulo de Sierpinski
  El curioso dibujo que se forma al pintar de negro los números impares del triángulo y de blanco los pares, recuerda al triángulo de Sierpinski , uun famoso conjunto geométrico (un fractal determinístico que se puede construir a partir de cualquier triángulo) El applet de JavaBajas Zapatillas Mujer Zapatillas Zapatillas Mujer Mujer Bajas Mujer Bajas Mujer Bajas Zapatillas Bajas Zapatillas 4L5RAj de esta página muestra inicialmente las primeras filas del triángulo de Pascal. Se puede aumentar el número de filas y se puede elegir entre colorear los números pares o no colorearlos. Cuando se elige colorear se observa perfectamente que al ir aumentando el número de filas el objeto resultante se va aproximando al triángulo de Sierpinski.



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• Cambiando extremos
  

  2 1   2 1   3   2 1   4   5   2 1   5   9   7  2 1   6   14  16  9  2 ......

  ¿Qué pasaría si cambiamos los unos de uno de los lados externos del triángulo de Pascal por doses ?. ¿Qué relaciones numéricas se pueden encontrar? ¿Qué sucedería si en lugar de doses colocamos treses o cuatros?

  
  
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Generar el triángulo de Pascal con Javascript.ZuecosclogsMujer Negro ZuecosclogsMujer ZuecosclogsMujer Negro ZuecosclogsMujer ZuecosclogsMujer Negro ZuecosclogsMujer Negro Negro H29WDIE

Escriba el número de filas que va a tener el triángulo de Tartaglia.

Un juego

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En el libro Carnaval Matemático de Martin Gardner expone un buen número de curiosidades y anécdotas referentes al juego de las damas:
El recorrido de las damas, entretenido juego relacionado con el triángulo de Pascal en El Paraíso de las Matemáticas